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Beispiele zur Dynamischen Geometrie

 
 
 
 
 

 
 

Strahlengang der Abbildung mit einer Linse:

 

Eine Linse kann die Richtung von Lichtstrahlen ändern. Im Folgenden beschränken wir uns auf eine dünne Bikonvex-Linse (Sammellinse). Fällt ein Bündel paralleler Lichtstrahlen auf eine solche Linse, dann werden die Strahlen alle so zur optischen Achse der Linse hin abgelenkt, dass sie durch einen gemeinsamen Punkt F auf der optischen Achse verlaufen. Diesen Punkt nennt man einen "Brennpunkt" der Linse. Gehen umgekehrt von einem Brennpunkt Lichtstrahlen aus, dann werden sie durch die Linse so gebrochen, dass sie hinter ihr parallel zur optischen Achse verlaufen. Eine Sonderrolle spielen diejenigen Strahlen, die durch den Mittelpunkt der Linse verlaufen: sie werden durch die Linse nicht abgelenkt. Insgesamt haben wir also drei Sorten "ausgezeichneter Strahlen":

  1. Achsenparallele Strahlen verlaufen hinter der Linse durch den Brennpunkt.
  2. Brennstrahlen verlaufen hinter der Linse achsenparallel weiter.
  3. Mittelpunktsstrahlen durchlaufen die Linse ohne Ablenkung.

Mit Hilfe dieser drei Sorten besonderer Strahlen lässt sich verstehen, nach welchen Gesetzen die Abbildung mit Linsen funktioniert. Die folgende Zeichnung stellt dar, wie die Spitze eines Gegenstandspfeils durch die Linse auf die Spitze eines Bildpfeils abgebildet wird:

Von der Spitze des Gegenstands aus sind drei Strahlen eingezeichnet: einer parallel zur optischen Achse, einer durch die Linsenmitte und einer durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt der Linse. Der erste verläuft hinter der Linse durch den bildseitigen Brennpunkt, der zweite verläuft unabgelenkt durch die Linse, und der dritte wird durch die Linse parallel zur optischen Achse gerichtet. Wir sehen, dass diese drei Strahlen sich in einem Punkt treffen, und dies ist der Bildpunkt der Pfeilspitze.

Die Zeichnung enthält noch eine Menge weiterer Objekte, die aber zunächst verborgen sind. Wenn man den Schieberegeler "Details" auf den Wert 2 stellt, erscheinen einige Bezeichnungen: die Gegenstandsweite g und die Bildweite b, mit welchen die Entfernungen zwischen Gegenstand und Linse sowie Bild und Linse gemessen werden, sowie die Gegenstandsgröße G und die Bildgröße B, welche die Höhen von Gegenstand und Bild messen. In der Zeichnung lassen sich nun die Gegenstandsweite und die Gegenstandsgröße verändern: zieht man an der Spitze des Gegenstands-Pfeils, dann ändert sich die Gegenstandsweite g, zieht man am Punkt H, ändert sich die Gegenstandsgröße G.

Wie verändert sich B, wenn G vergrößert wird?
Wie verändert sich b, wenn G vergrößert wird?
Was muss man tun, um b zu verkleinern?

Wenn man den Schieberegler "Details" auf "3" stellt, erscheinen für die vier Größen b, B, g und G nun auch noch die gemessenen Werte sowie zwei Term-Objekte, mit denen die Quotienten (B/G) und (b/g) berechnet werden. Wie auch immer man G und g wählt, haben diese beiden Quotienten jeweils den gleichen Wert. Es gilt also die "Abbildungsgleichung":

B/G = b/g

Diese Gleichung kann man auch als eine Variante des Strahlensatzes direkt aus der Zeichnung ablesen, wenn man die Strahlensatzfigur mit der Linsenmitte als Zentrum betrachtet, und Gegenstand und Bild als parallele "Geraden" nimmt.

Zieht man den Regler "Details" ganz nach rechts, erscheint auch noch ein Maß für die Brennweite f sowie zwei weitere Term-Objekte, die nun die "Linsengleichung" verifizieren:

1/f = 1/g + 1/b

Zur Begründung dieser Formel muss man ein wenig tiefer in die Trickkiste greifen; das schaffen nur noch diejenigen, die sattelfest sind sowohl in Geometrie (man braucht zweimal den Strahlensatz) als auch in Algebra (man muss einige nicht gerade einfache Gleichungsumformungen überstehen). Die Details stehen im Physikbuch.

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